В период избрания в 2016 году выглядел перспективным пермским политиком, который может войти в когорту «нового поколения» федеральных законодателей, знающих ситуацию на местах. Одним из ключевых элементов программы был тезис «инициативного бюджетирования», когда население вкладывается вместе с государством в реализацию местных проектов благоустройства. Материально опирался на семейные деньги.
В декабре 2019 года политик совершил весьма странный поступок. Господин Бурнашов заявил в Facebook о намерении покинуть парламент и извинился перед избирателями. Через несколько часов депутат удалил пост, а свои действия потом туманно объяснил некими угрозами. Предполагалось, что после этого действия карьеру господина Бурнашова можно считать законченной, но он заявился на праймериз.
26 мая в эфир вышла передача «Пусть говорят», где обсуждали нападение школьника на учительницу в березниковской школе. В качестве гостя там был и Алексей Буршнашев, который заявил, что родители «не должны гнаться за успешностью детей». Родители, к слову, сразу сказали, что он не прав и это не тот случай.
Шансы на победу Бурнашева в этих выборах тают с каждым днем. Праймериз «Единой России» по 59 округу он уступил советнику губернатора Роману Водянову. В тот же день в соцсетях политика появился пост о том, что он встретился с жителями Мотовилихи, которые выступают против застройки стадиона «Молот». Проект в свое время поддержал губернатор Дмитрий Махонин. Отправиться на выборы под флагами ЕР у него уже не получится, но оседлать протестную повестку и попытать удачу еще возможно.
Предвыборная гонка, как вероятно и политическая карьера, для Алексея Бурнашова закончились 8 июля 2021 года. Депутат был задержан в Перми (недалеко от Коммунального моста) сотрудниками ГИБДД. По неподтвержденным данным он был нетрезв и якобы напал на одного из сотрудников инспекции. После этого парламентария задержали. «Единая Россия» в тот же день поспешила откреститься от депутата, сообщив, что хоть он и член фракции партии в Госдуме, но не является ее членом. Сейчас в Следственном комитете решается вопрос о возбуждении в отношении Бурнашова уголовного дела (ему может грозить ответственность по двум статьям «Оскорбление представителя власти» и, если будет доказано, что он напал на сотрудника ГИБДД, «Применение насилия в отношении представителя власти»).